۱- عبارت‌های زیر را ساده کنید.
پاسخ تشریحی:
* **الف) $۲\sqrt{۵۰} + \sqrt{۳۲} + ۲\sqrt{۷۲}$**
$ = ۲\sqrt{۲۵ \times ۲} + \sqrt{۱۶ \times ۲} + ۲\sqrt{۳۶ \times ۲} $
$ = (۲ \times ۵)\sqrt{۲} + ۴\sqrt{۲} + (۲ \times ۶)\sqrt{۲} $
$ = ۱۰\sqrt{۲} + ۴\sqrt{۲} + ۱۲\sqrt{۲} = (۱۰+۴+۱۲)\sqrt{۲} = ۲۶\sqrt{۲} $
* **ب) $ \sqrt{۸} + \sqrt{۱۲۸} - \sqrt{۵۰} $**
$ = \sqrt{۴ \times ۲} + \sqrt{۶۴ \times ۲} - \sqrt{۲۵ \times ۲} $
$ = ۲\sqrt{۲} + ۸\sqrt{۲} - ۵\sqrt{۲} = (۲+۸-۵)\sqrt{۲} = ۵\sqrt{۲} $
* **ج) $ \sqrt[3]{۲۷^۲} $**
$ = (\sqrt[۳]{۲۷})^۲ = (۳)^۲ = ۹ $
* **د) $ \sqrt[3]{-\frac{۲۷}{۶۴}} $**
$ = \frac{\sqrt[۳]{-۲۷}}{\sqrt[۳]{۶۴}} = -\frac{۳}{۴} $
* **ه) $ (\sqrt{۲}-\sqrt{۵})(\sqrt{۱۰}+\sqrt{۲}) $**
$ = (\sqrt{۲})(\sqrt{۱۰}) + (\sqrt{۲})(\sqrt{۲}) - (\sqrt{۵})(\sqrt{۱۰}) - (\sqrt{۵})(\sqrt{۲}) $
$ = \sqrt{۲۰} + ۲ - \sqrt{۵۰} - \sqrt{۱۰} $
$ = \sqrt{۴ \times ۵} + ۲ - \sqrt{۲۵ \times ۲} - \sqrt{۱۰} = ۲\sqrt{۵} + ۲ - ۵\sqrt{۲} - \sqrt{۱۰} $
* **و) $ ۲\sqrt{۴۸} - ۳\sqrt{۲۷} $**
$ = ۲\sqrt{۱۶ \times ۳} - ۳\sqrt{۹ \times ۳} $
$ = (۲ \times ۴)\sqrt{۳} - (۳ \times ۳)\sqrt{۳} = ۸\sqrt{۳} - ۹\sqrt{۳} = -\sqrt{۳} $
۲- اگر $x<۰$ باشد، حاصل عبارت مقابل را به دست آورید.
$ ۲\sqrt{x^۲} - x $
پاسخ تشریحی:
برای ساده کردن این عبارت، از قاعده‌ی $ \sqrt{a^۲} = |a| $ استفاده می‌کنیم.
۱. **جایگزینی رادیکال با قدرمطلق:**
$ ۲\sqrt{x^۲} - x = ۲|x| - x $
۲. **استفاده از شرط $x < 0$:**
در صورت سوال گفته شده است که $x$ عددی **منفی** است. طبق تعریف قدرمطلق، اگر عدد داخل آن منفی باشد، حاصل برابر با قرینه‌ی آن عدد است. پس:
$ |x| = -x $
۳. **جایگذاری و ساده‌سازی نهایی:**
مقدار جدید $|x|$ را در عبارت قرار می‌دهیم:
$ ۲(-x) - x = -۲x - x = -۳x $
بنابراین، حاصل عبارت برابر با **$ -۳x $** است.
۳- محیط و مساحت مربعی به ضلع $۳\sqrt{۵}$ سانتی‌متر را به دست آورید.
پاسخ تشریحی:
* **محاسبه‌ی محیط مربع:**
* **فرمول:** محیط مربع برابر با «چهار برابر طول ضلع» است: $ P = ۴s $
* **جایگذاری:** $ s = ۳\sqrt{۵} $
* **محاسبه:** $ P = ۴ \times (۳\sqrt{۵}) = ۱۲\sqrt{۵} $ سانتی‌متر
* **محاسبه‌ی مساحت مربع:**
* **فرمول:** مساحت مربع برابر با «ضلع به توان دو» است: $ A = s^۲ $
* **جایگذاری:** $ s = ۳\sqrt{۵} $
* **محاسبه:** $ A = (۳\sqrt{۵})^۲ = ۳^۲ \times (\sqrt{۵})^۲ = ۹ \times ۵ = ۴۵ $ سانتی‌متر مربع
۴- شکل مقابل یک مثلث متساوی‌الاضلاع را به ضلع a نشان می‌دهد. اندازه‌ی ارتفاع h را بر حسب a به دست آورید؛ سپس مساحت آن‌را بر حسب a بنویسید.
پاسخ تشریحی:
* **محاسبه‌ی ارتفاع (h):**
در مثلث متساوی‌الاضلاع، ارتفاع ($h$)، قاعده‌ی ($a$) را نصف می‌کند و یک مثلث قائم‌الزاویه با وتر $a$ و یک ضلع قائم $ \frac{a}{۲} $ ایجاد می‌کند. با استفاده از **قضیه‌ی فیثاغورس** داریم:
$ h^۲ + (\frac{a}{۲})^۲ = a^۲ $
$ h^۲ + \frac{a^۲}{۴} = a^۲ $
$ h^۲ = a^۲ - \frac{a^۲}{۴} = \frac{۳a^۲}{۴} $
$ h = \sqrt{\frac{۳a^۲}{۴}} = \frac{\sqrt{۳} \times \sqrt{a^۲}}{\sqrt{۴}} = \frac{a\sqrt{۳}}{۲} $
* **محاسبه‌ی مساحت (S):**
* **فرمول:** مساحت مثلث برابر با «نصف حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع» است: $ S = \frac{۱}{۲} \times b \times h $
* **جایگذاری:** $ b=a $ و $ h = \frac{a\sqrt{۳}}{۲} $
* **محاسبه:** $ S = \frac{۱}{۲} \times a \times (\frac{a\sqrt{۳}}{۲}) = \frac{a^۲\sqrt{۳}}{۴} $
۵- نقاط M, N, P و Q وسط‌های اضلاع مربع ABCD هستند. اگر مساحت مربع ABCD، ۱۰۰ متر مربع باشد، محیط مربع MNPQ چقدر است؟
پاسخ تشریحی:
**مرحله ۱: یافتن ضلع مربع بزرگ (ABCD)**
* مساحت $ABCD = ۱۰۰ \text{ m}^۲$
* طول ضلع $AB = \sqrt{۱۰۰} = ۱۰ \text{ m}$
**مرحله ۲: یافتن ضلع مربع کوچک (MNPQ)**
نقاط M و N وسط‌های اضلاع $AB$ و $BC$ هستند. پس:
* $MB = \frac{۱}{۲}AB = \frac{۱}{۲}(۱۰) = ۵ \text{ m}$
* $BN = \frac{۱}{۲}BC = \frac{۱}{۲}(۱۰) = ۵ \text{ m}$
مثلث $MBN$ یک مثلث قائم‌الزاویه است. ضلع $MN$ وتر این مثلث و ضلع مربع کوچک است. با استفاده از **قضیه‌ی فیثاغورس**:
* $MN^۲ = MB^۲ + BN^۲ = ۵^۲ + ۵^۲ = ۲۵ + ۲۵ = ۵۰$
* $MN = \sqrt{۵۰} = \sqrt{۲۵ \times ۲} = ۵\sqrt{۲} \text{ m}$
**مرحله ۳: محاسبه‌ی محیط مربع MNPQ**
* **فرمول:** محیط مربع $P = ۴s$
* **محاسبه:** $ P_\text{MNPQ} = ۴ \times (۵\sqrt{۲}) = ۲۰\sqrt{۲} $ متر
۶- در جاهای خالی علامت <, >, یا = بگذارید:
پاسخ تشریحی:
* **$۴ > \sqrt{۳}+۲$**
* $ \sqrt{۳} \approx ۱.۷۳ $، پس $ \sqrt{۳}+۲ \approx ۳.۷۳ $. چون $۴ > ۳.۷۳$ است.
* **$ \sqrt{۵}+\sqrt{۴} > \sqrt{۵+۴} $**
* سمت چپ: $ \sqrt{۵}+۲ \approx ۲.۲۳+۲ = ۴.۲۳ $. سمت راست: $ \sqrt{۹}=۳ $. چون $۴.۲۳ > ۳$ است.
* **$ \sqrt{\frac{۳}{۱۱}} = \frac{\sqrt{۳}}{\sqrt{۱۱}} $**
* طبق قانون تقسیم رادیکال‌ها ($ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $)، دو طرف برابر هستند.
* **$ \sqrt{۳}+\sqrt{۲} > \sqrt{۵} $**
* دو طرف را به توان ۲ می‌رسانیم: $ (\sqrt{۳}+\sqrt{۲})^۲ = ۳+۲+۲\sqrt{۶} = ۵+۲\sqrt{۶} $. سمت راست: $ (\sqrt{۵})^۲ = ۵ $. چون $۵+۲\sqrt{۶} > ۵$ است.
۷- در جاهای خالی عدد مناسب بنویسید:
پاسخ تشریحی:
* **الف) $ \sqrt{۱۰۰} = ۱۰ $**
* **ب) $ ۲\sqrt{۹} = ۶ $** ($\sqrt{۹}=۳$, $۲ \times ۳ = ۶$)
* **ج) $ \sqrt{\frac{۱}{۹}} = \frac{۱}{۳} $**
* **د) $ \sqrt[۳]{۸} = ۲ $**
* **ه) $ \frac{۲^{-۵}}{۲^{-۸}} = \sqrt{۶۴} $** ($۲^{-۵-(-۸)} = ۲^۳ = ۸$ و $ \sqrt{۶۴}=۸$)
* **و) $ \frac{(\sqrt{۱۲})^۲}{۴ \times ۳} = ۳^۰ $** ($\frac{۱۲}{۱۲} = ۱$ و $۳^۰=۱$)
* **ز) $ \frac{m^۶ \times m^{-۲}}{m^۳} = m $** ($m^{۶-۲-۳} = m^۱=m$)
* **ح) $ ۹\sqrt[۳]{-۲۷} = \frac{(-۶\sqrt[۳]{۲})^۳}{(-۴)^۲} $** (این سوال احتمالاً اشتباه تایپی دارد. یک پاسخ ممکن با فرض اینکه منظور $ (\frac{x}{-۴})^۳ $ بوده، $x=۱۲$ است.)
مخرج کسرهای زیر را گویا کنید. (شماره سوال ۸)
پاسخ تشریحی:
* **الف) $ \frac{۶}{\sqrt[۳]{۲}} $**
برای حذف $ \sqrt[۳]{۲} $ از مخرج، آن را در $ \sqrt[۳]{۲^۲} = \sqrt[۳]{۴} $ ضرب می‌کنیم تا $ \sqrt[۳]{۲^۳}=۲ $ به دست آید.
$ \frac{۶}{\sqrt[۳]{۲}} \times \frac{\sqrt[۳]{۴}}{\sqrt[۳]{۴}} = \frac{۶\sqrt[۳]{۴}}{۲} = ۳\sqrt[۳]{۴} $
* **ب) $ \frac{۲}{\sqrt{۳۲}} $**
ابتدا مخرج را ساده می‌کنیم: $ \sqrt{۳۲} = \sqrt{۱۶ \times ۲} = ۴\sqrt{۲} $. پس کسر برابر $ \frac{۲}{۴\sqrt{۲}} = \frac{۱}{۲\sqrt{۲}} $ است.
$ \frac{۱}{۲\sqrt{۲}} \times \frac{\sqrt{۲}}{\sqrt{۲}} = \frac{\sqrt{۲}}{۲ \times ۲} = \frac{\sqrt{۲}}{۴} $
* **ج) $ \frac{۱۲}{\sqrt{۶}} $**
$ \frac{۱۲}{\sqrt{۶}} \times \frac{\sqrt{۶}}{\sqrt{۶}} = \frac{۱۲\sqrt{۶}}{۶} = ۲\sqrt{۶} $
* **د) $ \frac{۵}{\sqrt[3]{۳x}} $**
مخرج را در $ \sqrt[۳]{(۳x)^۲} = \sqrt[۳]{۹x^۲} $ ضرب می‌کنیم.
$ \frac{۵}{\sqrt[۳]{۳x}} \times \frac{\sqrt[۳]{۹x^۲}}{\sqrt[۳]{۹x^۲}} = \frac{۵\sqrt[۳]{۹x^۲}}{\sqrt[۳]{۲۷x^۳}} = \frac{۵\sqrt[۳]{۹x^۲}}{۳x} $
۹- آیا تساوی $ \sqrt{x^۲} = (\sqrt{x})^۲ $ همیشه درست است؟ توضیح دهید.
پاسخ تشریحی:
**خیر**، این تساوی همیشه درست نیست.
**توضیح:**
برای بررسی درستی، دو طرف تساوی را جداگانه تحلیل می‌کنیم:
* **سمت چپ: $ \sqrt{x^۲} $**
این عبارت برای **تمام اعداد حقیقی** $x$ (مثبت، منفی و صفر) تعریف شده است و حاصل آن برابر با قدرمطلق $x$ است: $ \sqrt{x^۲} = |x| $.
* **سمت راست: $ (\sqrt{x})^۲ $**
این عبارت تنها زمانی در مجموعه‌ی اعداد حقیقی تعریف شده است که عبارت زیر رادیکال، نامنفی باشد. یعنی شرط آن **$ x \geq ۰ $** است. برای این مقادیر، حاصل آن برابر با $x$ است.
**نتیجه‌گیری:**
چون دامنه‌ی تعریف دو طرف تساوی یکسان نیست، این تساوی «همیشه» درست نیست. برای هر عدد منفی ($x<0$)، سمت راست تعریف نشده است در حالی که سمت چپ تعریف شده و مقداری مثبت دارد.
این تساوی تنها تحت شرط **$ x \geq ۰ $** برقرار است.
